# Luca Pacioli i Boska proporcja

> De divina proportione Luki Pacioliego, napisane w Mediolanie pod koniec XV wieku i wydrukowane w Wenecji w 1509 roku z rycinami według rysunków Leonarda da Vinci, nadało euklidesowemu podziałowi w stosunku skrajnym i średnim rangę teologiczną, zestawiając jego własności matematyczne z przymiotami Boga.

Dział: Renesansowa filozofia tajemna
Adres kanoniczny: https://ordotheia.pl/eseje/luca-pacioli-i-boska-proporcja

## Franciszkanin wśród liczb

Luca Pacioli urodził się około 1447 roku w Borgo San Sepolcro, miasteczku w górnej dolinie Tybru, z którego pochodził także malarz Piero della Francesca. Związek z tym starszym krajanem, wybitnym zarówno w malarstwie, jak i w geometrii, miał wyznaczyć wiele w jego życiu. Młody Pacioli kształcił się w rachunku kupieckim, pracował jako nauczyciel synów weneckiego kupca, a następnie wstąpił do zakonu franciszkanów. Jako brat mniejszy i magister teologii nauczał matematyki w Perugii, Rzymie, Neapolu, Florencji i innych miastach Italii, wędrując po uczelniach i dworach, jak wielu uczonych tamtych czasów.

Sławę przyniosła mu wydana w Wenecji w 1494 roku *Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita*, obszerne kompendium wiedzy matematycznej przeznaczone zarówno dla uczonych, jak i dla kupców. Pisane po włosku, a nie po łacinie, zawierało między innymi wykład księgowości podwójnej, który zapewnił Pacioliemu trwałe miejsce w historii rachunkowości. Dwa lata później zakonnik przybył na dwór Ludovica Sforzy, zwanego il Moro, w Mediolanie, gdzie spotkał Leonarda da Vinci. Spotkanie dwóch ludzi zafascynowanych geometrią zaowocowało przyjaźnią i współpracą.

W Mediolanie Pacioli napisał traktat, który ukończył w grudniu 1498 roku i zadedykował księciu. Do naszych czasów przetrwały dwa rękopisy prezentacyjne tego dzieła, przechowywane w Mediolanie i w Genewie. Wydanie drukowane, znacznie rozszerzone, ukazało się w Wenecji w 1509 roku nakładem Paganina Paganiniego. Między napisaniem a drukiem minęło dziesięć lat, w ciągu których upadło panowanie Sforzów, Leonardo i Pacioli opuścili Mediolan, a zakonnik kontynuował wędrówki po uczelniach Italii.

## Proporcja, która nie ma imienia

Przedmiotem traktatu jest stosunek, który Euklides w *Elementach* nazwał podziałem odcinka w stosunku skrajnym i średnim. Odcinek zostaje podzielony tak, że cały ma się do większej części, jak większa część do mniejszej. Euklides potrzebował tego podziału do konstrukcji pięciokąta foremnego oraz dwóch najbardziej złożonych brył foremnych, dwunastościanu i dwudziestościanu, którymi zajmuje się w trzynastej księdze. Dla greckiego geometry był to jeden z wielu użytecznych stosunków; nie przypisywał mu ani szczególnego piękna, ani mistycznego sensu.

Pacioli nadaje mu nazwę „boskiej proporcji” i uzasadnia ją w piątym rozdziale traktatu pięcioma racjami, które nazywa odpowiedniościami z Bogiem. Pierwsza wskazuje na jedyność: jest to jedna proporcja, niepowtarzalna, tak jak Bóg jest jeden. Druga dotyczy troistości: zawiera trzy wyrazy – cały odcinek i jego dwie części – połączone jednym stosunkiem, tak jak w Bogu trzy Osoby mają jedną istotę. Trzecia mówi o niewyrażalności: stosunek ten nie może być oddany żadną liczbą wymierną, nie da się go dokładnie nazwać, podobnie jak Boga nie można zdefiniować ani wyrazić słowami. Czwarta wskazuje na niezmienność: proporcja zachowuje się zawsze tak samo, niezależnie od wielkości odcinka, i odtwarza się w swoich częściach, podobnie jak Bóg jest wszędzie ten sam i niezmienny. Piąta odwołuje się do kosmologii: jak Bóg obdarzył istnieniem moc niebieską, zwaną piątą esencją, i przez nią cztery żywioły, tak boska proporcja daje formalne istnienie dwunastościanowi, który według Platona odpowiada niebu.

Każda z tych racji ma solidne zakotwiczenie matematyczne. Jedyność wynika z tego, że dla danego odcinka istnieje tylko jeden taki podział. Niewymierność stosunku była znana od starożytności. Samopodobieństwo wynika z tego, że odjęcie mniejszej części od większej daje znów podział w tym samym stosunku. Konstrukcja dwunastościanu rzeczywiście wymaga tej proporcji. Teologiczna interpretacja nie jest więc nałożona na dowolny materiał, lecz wyrasta z rzeczywistych własności, które Pacioli odczytuje jako ślady boskiego porządku w strukturze liczb.

## Trzynaście efektów i ich uświęcona liczba

Po pięciu racjach następują rozdziały o „efektach” proporcji, czyli o kolejnych twierdzeniach geometrycznych wynikających z jej definicji. Pacioli nadaje im wzniosłe przydomki, wyliczając efekt istotny, osobliwy, niewysłowiony, przedziwny i dalsze, każdy z coraz bardziej zdumiewającym epitetem. Zatrzymuje się na trzynastu, wyjaśniając, że czyni to na cześć dwunastu apostołów i ich Głowy, Zbawiciela. Matematyka, choć zachowuje własną ścisłość, zostaje w ten sposób wpisana w porządek liturgiczny.

Ta konstrukcja może się dziś wydawać naiwna, ale należy ją czytać w kontekście epoki. Pacioli jest franciszkaninem i teologiem, wychowanym w tradycji, która od Augustyna i Boecjusza widziała w liczbach ślady stwórczej mądrości. Księga Mądrości mówiła, że Bóg wszystko urządził według miary, liczby i wagi, a średniowieczna teologia rozwijała tę myśl w rozważaniach o arytmetyce jako drodze ku Bogu. Pacioli nie wymyśla tego połączenia; stosuje je do konkretnego stosunku i robi to z entuzjazmem, który udziela się czytelnikowi.

Nie należy przy tym przypisywać mu poglądów hermetycznych czy kabalistycznych, których w traktacie nie ma. Boska proporcja nie jest u niego kluczem do magicznych operacji ani tajemnym kodem natury. Jest przedmiotem kontemplacji, w której umysł, rozważając doskonałość figury geometrycznej, wznosi się ku doskonałości Stwórcy. To raczej teologia stworzenia niż ezoteryka, choć późniejsi czytelnicy często ten wymiar przeinaczali.

## Bryły Platona w rysunkach Leonarda

Drugim filarem traktatu są bryły foremne. Platon w *Timajosie* przypisał czterem z nich żywioły: czworościan ogniowi, ośmiościan powietrzu, dwudziestościan wodzie, sześcian ziemi, a dwunastościan powiązał z całością kosmosu. Pacioli przejmuje tę kosmologię i opisuje bryły nie tylko jako obiekty geometryczne, lecz jako modele struktury świata. Omawia także bryły pochodne, otrzymywane przez ścięcie wierzchołków lub nadbudowanie ostrosłupów na ścianach, i ich wzajemne związki.

Do traktatu dołączono sześćdziesiąt ilustracji brył wykonanych według rysunków Leonarda da Vinci. Leonardo przedstawił każdą bryłę w dwóch postaciach: jako ciało pełne i jako szkielet, w którym widoczne są tylko krawędzie, tak że oko może zajrzeć do wnętrza i zobaczyć tylną stronę konstrukcji. Ten drugi sposób przedstawienia był nowatorski i wymagał mistrzowskiego opanowania perspektywy. Rysunki nadają wywodom matematycznym nową jakość: bryły unoszą się w przestrzeni, zawieszone na wstążkach, oświetlone i cieniowane, jakby były przedmiotami, które można wziąć do ręki.

Współpraca nie była jednostronna. Leonardo, który nie przeszedł regularnego wykształcenia łacińskiego i matematycznego, uczył się od zakonnika; w jego notatkach zachowała się uwaga, by nauczyć się od mistrza Luki mnożenia pierwiastków. Pacioli z kolei zyskiwał rysownika, który potrafił uczynić widzialnym to, co w wywodzie słownym pozostawało trudne do wyobrażenia. Traktat o boskiej proporcji jest więc owocem spotkania dwóch rodzajów wiedzy – książkowej i warsztatowej – które w Mediolanie lat dziewięćdziesiątych XV wieku przez krótki czas pracowały razem.

Wybór języka włoskiego miał podobny sens. Pacioli pisał nie tylko dla teologów i profesorów, lecz także dla architektów, rzeźbiarzy, kamieniarzy i malarzy, którym geometria była potrzebna w codziennej pracy. Teologiczne uzasadnienie boskiej proporcji trafiało więc do warsztatów, gdzie mogło nadawać wyższy sens czynności tak prozaicznej jak wyznaczanie pięciokąta cyrklem.

Portret Pacioliego, przechowywany dziś w neapolitańskim Museo di Capodimonte i przypisywany Jacopowi de’ Barbari, pokazuje zakonnika przy stole, na którym leży dwunastościan, a nad nim zawieszona jest szklana bryła o wielu ścianach, napełniona do połowy wodą. Obraz ten oddaje to samo przekonanie, które wyraża traktat: geometria nie jest abstrakcją oderwaną od świata, lecz sposobem widzenia jego ukrytej struktury, a ten, kto ją zgłębia, uczestniczy w kontemplacji porządku stworzenia.

## Długi cień Piera della Francesca

Wydanie z 1509 roku zawiera, oprócz właściwego traktatu o proporcji, wykład o architekturze oraz włoski przekład dzieła o pięciu bryłach foremnych, które wcześniej napisał po łacinie Piero della Francesca. Piero, zmarły w 1492 roku, był jednym z najwybitniejszych matematyków wśród malarzy swojego czasu, autorem traktatu o perspektywie i dzieła *Libellus de quinque corporibus regularibus*. Pacioli znał go osobiście i korzystał z jego pracy, lecz w drukowanym wydaniu nie wskazał jasno autorstwa przetłumaczonego tekstu.

Giorgio Vasari w *Żywotach* oskarżył go za to otwarcie o przywłaszczenie dorobku krajana. Współcześni historycy matematyki potwierdzają, że część materiału Pacioliego pochodzi z prac Piera, choć oceniają sprawę ostrożniej, wskazując na odmienne od dzisiejszych obyczaje dotyczące autorstwa i kompilacji w XV wieku. Bez względu na ocenę moralną jest jasne, że *De divina proportione* wyrasta ze wspólnego środowiska, w którym malarstwo, architektura i geometria tworzyły jedną dziedzinę wiedzy o kształcie i proporcji.

## Korekta mitu o złotej liczbie

Wokół traktatu Pacioliego narosło wiele nieporozumień, które warto krótko sprostować. Nowożytne przekonanie, że złoty podział jest uniwersalnym kanonem piękna, stosowanym świadomie przez starożytnych budowniczych Partenonu, przez Leonarda w jego obrazach czy obecnym w proporcjach ludzkiego ciała, ma niewiele wspólnego z tym, co pisał Pacioli. W części poświęconej architekturze i proporcjom człowieka zakonnik opiera się głównie na Witruwiuszu i na prostych stosunkach liczbowych, a nie na boskiej proporcji. Nie twierdzi też, że należy jej używać jako reguły estetycznej w malarstwie.

Samo wyrażenie „złoty podział” pojawia się w druku dopiero w XIX wieku, w niemieckich podręcznikach matematycznych, a estetyczna teoria złotej liczby jako prawa natury i sztuki została rozwinięta przez Adolfa Zeisinga w połowie tego stulecia. Większość dawnych dzieł, w których rzekomo odnajduje się złotą proporcję, nie potwierdza tego przy dokładnych pomiarach albo potwierdza ją tylko przy dobraniu dogodnych punktów odniesienia.

Pacioli zasługuje na uwagę z innego powodu. Jego traktat jest świadectwem momentu, w którym renesansowa matematyka jeszcze nie oddzieliła się od teologii, a zachwyt nad własnościami liczby był zarazem modlitwą. Boska proporcja nie była dla niego przepisem na piękno, lecz śladem Boga w geometrii – śladem, który można dostrzec, ale którego nie można w pełni wyrazić, tak jak nie można wyrazić jej samej żadną liczbą wymierną.