Komentarz Proklosa do Euklidesa i wyobraźnia matematyczna

Komentarz do podręcznika

Spośród wszystkich pism Proklosa najdłużej i najszerzej czytanym, także przez ludzi, którzy nie interesowali się neoplatonizmem, okazał się komentarz do pierwszej księgi Elementów Euklidesa. Przez stulecia był podstawowym źródłem wiedzy o historii greckiej geometrii. Zawiera słynny katalog geometrów od Talesa do Euklidesa, prawdopodobnie oparty na zaginionej historii matematyki Eudemosa z Rodos, ucznia Arystotelesa, a także anegdotę, według której Euklides miał powiedzieć królowi Ptolemeuszowi, że do geometrii nie prowadzi żadna droga królewska. Matematycy znajdowali w nim dyskusje nad piątym postulatem, o równoległych, oraz informacje o dowodach, które bez Proklosa byłyby nieznane.

Ten historyczny i techniczny materiał bywa jednak czytany w oderwaniu od ram, w których Proklos go umieścił. Komentarz otwierają dwa prologi. Pierwszy dotyczy matematyki w ogóle: jej przedmiotu, jej miejsca w hierarchii wiedzy i jej celu. Drugi dotyczy geometrii jako szczególnej nauki matematycznej. Dopiero po nich Proklos przechodzi do definicji, postulatów, aksjomatów i twierdzeń pierwszej księgi Euklidesa. Prologi pokazują, że dla autora komentarz do podręcznika geometrii był także rozprawą o duszy.

Grecki tekst ukazał się drukiem w Bazylei w 1533 roku, razem z pierwszym wydaniem Elementów w oryginale, a w 1560 roku Francesco Barozzi ogłosił w Padwie przekład łaciński. Wydanie krytyczne Gottfrieda Friedleina z 1873 roku i angielski przekład Glenna Morrowa z 1970 roku pozostają podstawą współczesnych badań.

Byt pośredni

Proklos zaczyna od pytania, czym są przedmioty matematyki. Według platońskiej tradycji, którą zna z Państwa, rzeczywistość dzieli się na to, co niepodzielne i niezmienne, czyli formy poznawane przez umysł, oraz to, co podzielne i zmienne, czyli rzeczy poznawane przez zmysły. Przedmioty matematyczne zajmują miejsce pośrednie. Są trwałe i niezmienne jak formy, bo trójkąt zawsze ma kąty równe dwóm prostym; są zarazem podzielne i wielokrotne jak rzeczy, bo istnieje wiele trójkątów, a każdy z nich ma określoną wielkość i położenie.

To pośrednie położenie odpowiada pośredniemu położeniu duszy, która stoi między umysłem a ciałem. Proklos twierdzi, że przedmioty matematyczne mają swoje źródło w duszy, a dokładniej w zasadach, które dusza nosi w sobie od początku, w logoi. Dusza nie jest pustą tablicą, na której zmysły odciskają obrazy, lecz zawiera w sobie, jak mówi Proklos, pełnię form, choć w postaci zwiniętej, niewyrażonej. Poznanie matematyczne jest rozwijaniem tego, co w duszy już jest.

Ta teza jest wymierzona w arystotelesowską naukę o abstrakcji. Według Arystotelesa przedmioty matematyczne powstają przez myślowe oddzielenie od rzeczy zmysłowych tych ich cech, które dotyczą wielkości i liczby; matematyk bada ciało, pomijając jego materię i ruch. Proklos uważa to stanowisko za nie do utrzymania. Rzeczy zmysłowe nigdy nie są doskonale okrągłe ani doskonale proste; nie można więc wydobyć z nich doskonałego koła, którego w nich nie ma. Doskonałość przedmiotów matematycznych musi pochodzić z innego źródła niż zmysły, i tym źródłem jest dusza. Zmysły mogą co najwyżej pobudzać ją do przypomnienia, do wydobycia na światło tego, co w niej ukryte.

Wyobraźnia jako zwierciadło

Pozostaje jednak trudność. Zasady w duszy są niepodzielne i bezwymiarowe, a geometria zajmuje się figurami, które mają wymiary, części i położenie. Skąd się bierze ta rozciągłość, jeśli nie z materii zmysłowej? Odpowiedź Proklosa należy do najciekawszych pomysłów w dziejach filozofii matematyki.

Przedmioty geometryczne istnieją według niego w wyobraźni, phantasia. Wyobraźnia jest władzą duszy związaną z ciałem i dlatego zdolną przyjmować kształty rozciągłe, ale zarazem jest wolna od grubej materii rzeczy zmysłowych. Proklos utożsamia ją z tym, co Arystoteles nazwał materią inteligibilną, i opisuje ją za pomocą obrazów, które szczególnie przemawiają do nowożytnego czytelnika. Wyobraźnia jest jak zwierciadło, w którym dusza widzi odbicie swoich własnych zasad; jest jak ekran, na który rzuca je, aby móc je oglądać w rozwiniętej postaci.

Proklos opisuje ten proces jako rzutowanie, probolē. Dusza nie potrafi oglądać swoich zasad bezpośrednio, w ich niepodzielnej postaci; potrzebuje ich rozłożenia na części, rozpostarcia w przestrzeni wyobrażeniowej. Wyobrażone koło nie jest więc kopią koła widzianego, lecz projekcją zasady koła, którą dusza w sobie nosi. Na tym ekranie może pojawić się wiele kół, różnej wielkości i w różnych położeniach, ale każde z nich jest wyrazem tej samej niepodzielnej zasady.

To rozwiązanie wyjaśnia też, dlaczego geometria posługuje się ruchem. Euklides opisuje konstrukcje: prowadzenie prostej z punktu do punktu, zataczanie koła wokół środka. Proklos zauważa, że matematycy mówią nawet o linii powstającej z ruchu punktu. Ruch ten nie jest ruchem cielesnym, który wymagałby czasu i materii, lecz ruchem w wyobraźni, rozwinięciem zasady, która sama jest nieruchoma. Konstrukcja geometryczna jest obrazem wyjścia: niepodzielne staje się podzielnym, nie przestając być sobą.

Problem i twierdzenie

Ten sposób myślenia ma konsekwencje dla rozumienia samej struktury Elementów. Proklos poświęca dużo uwagi rozróżnieniu między problemami a twierdzeniami. Problem każe coś skonstruować, na przykład zbudować trójkąt równoboczny na danym odcinku; twierdzenie wykazuje własność figury, na przykład że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Wśród dawnych matematyków toczył się spór o to, czy rozróżnienie to ma znaczenie istotne, czy tylko formalne.

Dla Proklosa ma ono głęboki sens: problemy wiążą się z wytwarzaniem i stawaniem się figur, twierdzenia z ich istotą i własnościami. W języku jego metafizyki można powiedzieć, że problemy odpowiadają ruchowi wychodzenia, w którym dusza rozwija swoje zasady i wytwarza figury w wyobraźni; twierdzenia odpowiadają ruchowi powrotu, w którym dusza rozpoznaje w figurach to, co do nich wprowadziła. Konstrukcja jest twórczością, dowód kontemplacją. Geometria łączy oba ruchy, i dlatego jest doskonałym ćwiczeniem dla duszy, która w ten sposób odtwarza w małej skali rytm całej rzeczywistości.

Proklos zwraca też uwagę na postulaty i aksjomaty, które Euklides przyjmuje bez dowodu. Aksjomaty, czyli pojęcia wspólne, są według niego oczywiste dla każdego umysłu, bo wynikają bezpośrednio z zasad, które dusza nosi w sobie. Postulaty są innego rodzaju: domagają się zgody na pewne konstrukcje, które łatwo wykonać w wyobraźni. Piąty postulat, o prostych równoległych, nie spełnia według Proklosa tego warunku i powinien zostać udowodniony; Proklos przedstawia własną próbę dowodu, która, jak wiadomo od czasów nowożytnych, opiera się na założeniu równoważnym dowodzonemu.

Nauka, która przypomina

Pierwszy prolog nie kończy się na pytaniu o przedmiot matematyki; równie dużo miejsca zajmuje w nim pytanie o jej pożytek. Proklos wie, że wielu ceni matematykę za zastosowania, i nie lekceważy ich. Powołując się na podział przypisywany Geminosowi, wylicza obok arytmetyki i geometrii także nauki praktyczne: mechanikę, optykę, geodezję, sztukę rachunku, i przyznaje im miejsce w całości wiedzy. Ale prawdziwa wartość matematyki leży według niego gdzie indziej. Przytacza słowa z siódmej księgi Państwa, gdzie Sokrates mówi, że nauki matematyczne oczyszczają i rozpalają organ duszy, który inne zajęcia zaciemniają, a który jest cenniejszy niż tysiąc oczu, bo tylko nim można dostrzec prawdę.

Proklos łączy to z nauką o przypomnieniu, znaną z Menona. Uczenie się matematyki nie jest przyswajaniem czegoś obcego, lecz budzeniem tego, co dusza już wie. Nauczyciel rysujący figurę nie wkłada wiedzy do głowy ucznia; pobudza go jedynie, by sam rozpoznał w sobie zasadę, której ta figura jest wyrazem. Dlatego matematyka jest dla Proklosa przypominaniem, a rolę nauczyciela geometrii dobrze oddaje sokratejski obraz położnej z Teajteta, która pomaga przyjść na świat temu, co już zostało poczęte.

Kepler i dziedzictwo prologów

Najbardziej znanym nowożytnym czytelnikiem prologów Proklosa był Johannes Kepler. W Harmonices mundi, opublikowanych w 1619 roku, cytuje on obszerne fragmenty pierwszego prologu, uznając je za wyraz własnego przekonania, że kształty geometryczne nie są abstrakcjami wydobytymi z rzeczy, lecz wzorami, według których Bóg stworzył świat i które dusza ludzka nosi w sobie od urodzenia. Dla Keplera, który szukał w proporcjach ruchów planetarnych harmonii muzycznych, nauka Proklosa o wrodzonych zasadach geometrii była potwierdzeniem, że poznanie matematyczne jest uczestnictwem w myśli stwórcy.

Ta recepcja jest tym ciekawsza, że Kepler był astronomem pracującym na danych obserwacyjnych i doskonale wiedział, że teorię trzeba sprawdzać doświadczeniem. Nie przeszkadzało mu to w uznaniu, że same kształty, którymi posługuje się w badaniu nieba, pochodzą z duszy, a nie z oka. Proklos dał mu język, w którym mógł połączyć obserwację z przekonaniem o boskim źródle matematyki.

Dla historii myśli ezoterycznej prologi Proklosa mają znaczenie podwójne. Z jednej strony uzasadniają przekonanie, które przewija się przez całą zachodnią tradycję, od pitagorejczyków przez renesansowych platoników aż po nowożytnych mistyków liczby, że matematyka jest drogą duchową, a nie tylko narzędziem technicznym. Proklos mówi wprost, że jej celem jest oczyszczenie duszy z przywiązania do zmysłów i wzniesienie jej ku temu, co niepodzielne. Z drugiej strony pokazują, że ta duchowa interpretacja nie wymaga odrzucenia ścisłości. Komentator, który w prologu pisze o duszy jako zwierciadle zasad, w dalszych księgach rozważa szczegóły dowodów z precyzją zawodowego matematyka.

Wyobraźnia, która w wielu późniejszych systemach będzie władzą podejrzaną, źródłem złudzeń i namiętności, u Proklosa okazuje się miejscem, w którym dusza po raz pierwszy ogląda samą siebie. Na ekranie geometrii widzi rozwinięte to, co w niej zwinięte, i ucząc się figur, uczy się zarazem swojej własnej natury. Matematyka staje się w ten sposób formą samopoznania: drogą, na której dusza, zajęta trójkątami i kołami, odkrywa, że nosi w sobie porządek świata.