Nikomach z Gerazy i arytmetyka jako teologia

Matematyk z miasta Dekapolu

Geraza, dzisiejszy Dżarasz w Jordanii, była w czasach rzymskich zamożnym miastem Dekapolu, związku greckich miast na wschód od Jordanu. Stamtąd pochodził Nikomach, o którego życiu wiemy niewiele więcej niż to, co da się wyczytać z jego pism. Datuje się go zwykle na przełom I i II wieku. Podstawą jest wzmianka o astronomie Trazyllosie, nadwornym astrologu Tyberiusza, jako o autorze wcześniejszym, oraz fakt, że w II wieku Apulejusz miał przekładać jego arytmetykę na łacinę. Późniejsza tradycja zapamiętała go jako mistrza rachunku tak dalece, że jego imię stało się przysłowiowym określeniem biegłości w liczeniu.

Z pism Nikomacha zachowały się w całości dwa: Wprowadzenie do arytmetyki w dwóch księgach i Podręcznik harmoniki, krótki traktat o teorii muzyki napisany na prośbę szlachetnie urodzonej kobiety, której imienia nie znamy. Zaginęły natomiast Żywot Pitagorasa, z którego korzystali Porfiriusz i Jamblich, Wprowadzenie do geometrii, o którym wspomina sam autor, oraz Teologumena arytmetyczne, dzieło o boskim znaczeniu liczb. Z tego ostatniego zachowało się streszczenie w Bibliotece Focjusza, bizantyjskiego patriarchy z IX wieku, a liczne fragmenty przejął anonimowy zbiór znany jako Theologumena arithmeticae i przypisywany niegdyś Jamblichowi.

Liczba w umyśle Demiurga

Nikomach był pitagorejczykiem w sensie, jaki słowo to miało w jego czasach, to znaczy platonikiem, który najwyżej cenił liczbę i wywodził całą filozofię od Pitagorasa. Wprowadzenie do jego arytmetyki otwiera filozoficzny wywód o charakterze nauki. Prawdziwa wiedza dotyczy tego, co niezmienne i zawsze tak samo istnieje, a nie tego, co powstaje i ginie. Wśród rzeczy niezmiennych są wielkość i mnogość, rozważane w sobie albo w relacji. Cztery nauki zajmują się nimi w uporządkowany sposób: arytmetyka mnogością samą w sobie, muzyka mnogością w odniesieniu do innej, geometria wielkością w spoczynku, a astronomia wielkością w ruchu.

Nikomach nie przedstawia tego podziału jako własnego odkrycia. Powołuje się na Platona, który w siódmej księdze Państwa kazał przyszłym strażnikom państwa uczyć się kolejno rachunku, geometrii, astronomii i harmonii, by oczyścić oko duszy i odwrócić je od stawania się ku bytowi. Przytacza też fragment pitagorejczyka Archytasa z Tarentu, według którego ci, którzy zajmowali się naukami matematycznymi, dobrze rozpoznali, że są one ze sobą spokrewnione. Bez tych czterech dróg, konkluduje Nikomach, nie da się osiągnąć doskonałości w filozofii, a kto je pominie, ten nie dojdzie do prawdziwego poznania. Matematyka jest więc warunkiem, a nie ozdobą filozofii.

Spośród tych czterech nauk pierwsza jest arytmetyka, i to nie tylko w porządku nauczania. Nikomach uzasadnia jej pierwszeństwo argumentem, który stanowi rdzeń całej jego filozofii liczby. Arytmetyka, pisze, istniała przed innymi naukami w umyśle Boga-stwórcy jako uniwersalny wzorcowy plan, według którego Bóg ułożył wszystko z materii, jak rzemieślnik według rysunku. Nieco dalej stwierdza, że wszystko, co zostało w przyrodzie uporządkowane, było określone przez opatrzność i umysł stwórcy zgodnie z liczbą, a liczba ta była przedtem w jego myśli jako wzór.

W tym ujęciu liczba przestaje być jedynie narzędziem rachunku. Staje się czymś, co w innych tekstach epoki nazywano ideą. Nikomach nie twierdzi przy tym, jak niektórzy dawni pitagorejczycy, że rzeczy są liczbami w sensie materialnym. Twierdzi, że liczba jest wzorem, według którego Demiurg nadał im kształt. Wynika z tego, że ten, kto bada liczby, bada w pewnym sensie myśl Boga, i dlatego arytmetyka jest dla Nikomacha nauką nie tylko teoretyczną, ale także, w szerokim sensie, teologiczną.

Liczby doskonałe i cnota

Właściwa część Wprowadzenia jest wykładem elementarnej teorii liczb, pisanym przystępnie i z upodobaniem do klasyfikacji. Nikomach omawia liczby parzyste i nieparzyste, pierwsze i złożone, wyjaśnia sposób znajdowania liczb pierwszych, który przypisuje Eratostenesowi i nazywa sitem. Opisuje liczby figuralne, trójkątne, kwadratowe, pięciokątne, oraz relacje między nimi, a w drugiej księdze zajmuje się proporcjami, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną. Nie ma w tym dziele dowodów w stylu Euklidesa; są przykłady, tabele i obserwacje, które czynią je podręcznikiem raczej niż traktatem.

W kilku miejscach matematyka nabiera jednak wymiaru moralnego. Najbardziej znany jest wywód o liczbach nadmiarowych, niedomiarowych i doskonałych. Liczba doskonała, jak sześć czy dwadzieścia osiem, jest równa sumie swoich dzielników. Liczba nadmiarowa ma dzielniki, których suma ją przekracza, a niedomiarowa – takie, których suma jest od niej mniejsza. Nikomach podaje cztery liczby doskonałe: sześć, dwadzieścia osiem, czterysta dziewięćdziesiąt sześć i osiem tysięcy sto dwadzieścia osiem. Zauważa, że są rzadkie i powstają w regularnym porządku, a nadmiarowe i niedomiarowe są liczne i bezładne. Porównuje to do cnót i występków: cnota jest rzadka i ustawiona w środku, a wady liczne i rozrzucone na obie strony, w nadmiarze i w niedostatku. Arystotelesowska nauka o cnocie jako środku znajduje tu swoje odbicie w strukturze liczby.

Osobne miejsce zajmuje jedność. Nikomach, jak większość autorów pitagorejskich jego czasu, nie uważa jej za liczbę w ścisłym sensie, lecz za zasadę i źródło liczby. Liczba jest zbiorem jedności, a sama jedność jest tym, z czego zbiory powstają, i dlatego zawiera wszystkie liczby w możności, nie będąc żadną z nich w akcie. Podobnie dwójka jest pierwszym wyjściem z jedności, pierwszą odmiennością, od której zaczyna się mnogość. To rozróżnienie między zasadą a tym, co z niej wynika, jest dokładnym odpowiednikiem metafizycznego schematu, w którym wszystko pochodzi od jednego początku, sam początek zaś pozostaje ponad tym, co z niego wypływa. Arytmetyka elementarna staje się w ten sposób obrazem kosmogonii.

Podobnie jest z kategoriami tego samego i innego. Nikomach wywodzi wszystkie relacje liczbowe od równości, a nierówność traktuje jako wyjście od niej, które zawsze da się do niej sprowadzić. Na końcu drugiej księgi omawia proporcję, którą nazywa najdoskonalszą, sześć do ośmiu do dziewięciu do dwunastu, łączącą w sobie średnie arytmetyczną i harmoniczną; widzi w niej klucz do harmonii, którą Timajos przypisuje duszy świata.

Harmonika i młotki Pitagorasa

Podręcznik harmoniki uzupełnia ten obraz z innej strony. Zawiera najstarszą zachowaną wersję słynnej opowieści o tym, jak Pitagoras, przechodząc obok kuźni, usłyszał, że uderzenia różnych młotów tworzą współbrzmienia, i po zważeniu młotów odkrył, że interwały muzyczne odpowiadają prostym stosunkom liczbowym: oktawa stosunkowi dwa do jednego, kwinta trzy do dwóch, kwarta cztery do trzech. Opowieść jest fizycznie niemożliwa, bo dźwięk młota nie zależy od jego masy w taki sposób, ale miała ogromną siłę symboliczną. Uczyła, że w zjawisku zmysłowym, przypadkowym brzmieniu warsztatu, kryje się porządek liczby, który rozum może odczytać.

Dla Nikomacha harmonika była dowodem, że liczba przenika świat na wszystkich poziomach. Z tego samego porządku, który rządzi dźwiękami, wywodzi strukturę kosmosu, łącząc siedem strun liry z siedmioma planetami. Zaginione Teologumena szły w tym kierunku jeszcze dalej. Według streszczenia Focjusza Nikomach przypisywał każdej liczbie od jedności do dziesięciu boskie imiona i znaczenia: jedność utożsamiał z Bogiem i umysłem, dwójkę z materią i zmiennością, a kolejne liczby z bóstwami i cnotami. Zbiór Theologumena arithmeticae rozwija te skojarzenia, ale ponieważ jest kompilacją z różnych źródeł, nie da się dokładnie oddzielić tego, co pochodzi od Nikomacha.

Droga przez Boecjusza

Losy Wprowadzenia do arytmetyki świadczą o jego wyjątkowym znaczeniu. W późnej starożytności stało się ono podstawowym podręcznikiem nauczania matematyki w szkołach neoplatońskich. Jamblich napisał do niego komentarz, który włączył jako czwartą księgę do swojego wielkiego zbioru pism pitagorejskich, traktując arytmetykę Nikomacha jako nieodzowny etap kształcenia przyszłego filozofa. Później komentowali je w Aleksandrii Jan Filopon i Asklepios z Tralles. W IX wieku przełożył je na arabski Sabit ibn Kurra, matematyk z Harranu. Przekład łaciński Apulejusza, o którym wspomina Kasjodor, zaginął.

Najważniejszy okazał się przekład-przeróbka Boecjusza. Na początku VI wieku rzymski senator, który postanowił przyswoić łacinie całą grecką filozofię, napisał De institutione arithmetica, wierne w treści, choć nieco skrócone opracowanie dzieła Nikomacha. W jego wstępie po raz pierwszy pojawia się słowo quadrivium, poczwórna droga, na określenie czterech nauk matematycznych. Boecjusz przyjął też od Nikomacha ich kolejność i uzasadnienie: arytmetyka jest pierwsza, ponieważ bez niej nie mogłyby istnieć inne nauki, a ona sama może istnieć bez nich. Do jego traktatu De institutione musica również weszły materiały z Nikomacha.

Boecjusz nie był przy tym tylko tłumaczem. Usuwał powtórzenia, dodawał własne przykłady i tablice, porządkował materiał tak, by służył łacińskiemu uczniowi, który nie znał greki. W epoce karolińskiej i później jego arytmetyka należała do najczęściej przepisywanych podręczników szkolnych, a w X wieku posługiwał się nią w nauczaniu Gerbert z Aurillac, późniejszy papież Sylwester II.

Za pośrednictwem Boecjusza Nikomach stał się jednym z niewidocznych nauczycieli łacińskiego średniowiecza. Przez stulecia uczniowie szkół katedralnych i uniwersytetów poznawali liczby z podręcznika, który był w gruncie rzeczy łacińską wersją dzieła z Gerazy. Wraz z rachunkiem przejmowali przekonanie, że matematyka jest stopniem wznoszenia się umysłu od rzeczy zmysłowych ku niezmiennym, i że w liczbie można dostrzec porządek, który stwórca włożył w świat. Gdy w XII wieku teolodzy ze szkoły w Chartres próbowali wyjaśniać stworzenie świata przez liczby, a w renesansie autorzy piszący o harmonii kosmosu wracali do pitagorejskich proporcji, opierali się na tradycji, której pierwszym systematycznym wyrazicielem był Nikomach.